怎么认识三角形内切圆圆心

关于三角形的内心，有一些有趣的性质，可以极大的减少几何问题的计算量。

操作方法

（01）△ABC的内心为I，内切圆与三边切于D、E、F，那么：AE=AF，BD=BF，CD=CE

（02）设三角形的三边程度分别是a、b、c，那么：BD=BF=(a+c-b)/2

（03）线段的比例：BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2)进而，得到一个三角恒等式：(sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)

（04）设P是BC的中点，D关于P的对称点是D1，那么：AB+BD1=AC+CD1也就是说，AD1平分△ABC的周长。

（05）设Q是BA中点，R是AB中点；用上面的方法，同样可以构造出△ABC的周长平分线BE1和CF1。

（06）三角形的三条周长平分线共点，这个点称为△ABC的界心，标记为J。

（07）设G为△ABC的重心，那么，I、G、J三点共线，且JG=2*IG。

（08）由此可知，△ABC和△PQR关于G透视对应，对应关系是：A、B、C对应P、Q、R，I对应J，直线AJ对应直线PI。所以，直线PI是△PQR的周长平分线。

（09）设PI与QR交于T，那么：A、T、D共线。

（10）S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC这样可以求出I相对于△ABC的重心坐标是(sinA:sinB:sinC)。

直角三角形的内心

（01）△BAC中，AK⊥BC于K，I、M、N分别是△ABC、ABK、ACK的内心，ID⊥BC于D，AK交PQ于T。求证：四边形DNTM是正方形。

（02）设△ABC的三边长分别是a、b、c，那么，容易算出：BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)

（03）BD:DC=(a+c-b):(a+b-c)要证明DNTM是正方形，可以先间接证明：DN//MT//BPDM//NT//CQ这就需要证明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)因为a^2=b^2+c^2，所以容易证明上式成立。

（04）再证明DM=DN。因为DM=BD*CQ/BC，DN=CD*BP/BC，所以，转而证明：BD:BP=CD:CQ而这一点是比较容易的了。